Сложение и вычитание приближенных чисел

Рассмотрим задачу: сложить приближенные числа 2.389, 17.2, 8.65 и 94.12. Первое слагаемое содержит 9 тысячных долей. С чем их складывать? Ведь остальные слагаемые тоже содержат какие-то тысячные доли, но нам они неизвестны. Неизвестно, так же, сколько сотых у второго слагаемого. Десятые доли даны у всех слагаемых, их сумму легко найти. Поэтому все разряды правее десятых мы складывать не можем (не с чем), их мы отбрасываем, а десятые округляем обычным способом.
После сложения получим 122.4.
Итак, при сложении приближенных чисел сохраняем справа только те разряды, которые имеются у всех без исключения слагаемых, остальные десятичные знаки отбрасываем с округлением.
Аналогично поступаем и при вычитании. Например,
.
Отметим одну неприятную особенность вычитания приближенных чисел. Если вычитаются близкие числа, имеющие много верных цифр, то в результате может получаться число очень грубо приближенное. Например,
84.36-84.25=0.11, то есть вычитая числа с 4-мя значащими цифрами, получаем результат с 2-мя значащими цифрами. Именно по этой причине вычисления стараются строить так, чтобы избежать вычитания близких чисел.
Если избежать вычитания двух близких величин невозможно, то их надо брать с достаточно высокой точностью.
Отметим, что при сложении и вычитании приближенных чисел абсолютные погрешности слагаемых складываются.
Пример
Получить результат с 3-мя верными цифрами:

Получить результат с 2-мя верными цифрами:

Сложить приближенные числа с наибольшей возможной точностью и оценить абсолютную и относительную погрешность результата:

абс. погрешность 0.1
отн. погрешность 0.002%

Дополнительная информация из Википедии по теме: Сложение и вычитание приближенных чисел

Арифметика
Ганс Себальд Бехам, XVI век

Арифме́тика ( др.-греч. ἀριθμητική, arithmētikḗ — от ἀριθμός, arithmṓs «число») — раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства. Предметом арифметики является понятие числа ( натуральные, целые, рациональные, вещественные, комплексные числа) и его свойства. В арифметике рассматриваются измерения, вычислительные операции ( сложение, вычитание, умножение, деление) и приёмы вычислений. Изучением свойств отдельных целых чисел занимается высшая арифметика, или теория чисел. Теоретическая арифметика уделяет внимание определению и анализу понятия числа, в то время как формальная арифметика оперирует логическими построениями предикатов и аксиом. Арифметика является древнейшей и одной из основных математических наук; она тесно связана с алгеброй, геометрией и теорией чисел.

Причиной возникновения арифметики стала практическая потребность в счёте и вычислениях, связанных с задачами учёта при централизации сельского хозяйства. Наука развивалась вместе с усложнением задач, требующих решения. Большой вклад в развитие арифметики внесли греческие математики — в частности, философы- пифагорейцы, пытавшиеся с помощью чисел постичь и описать все закономерности мира.

В Средние века арифметику относили, вслед за неоплатониками, к числу так называемых семи свободных искусств. Основными областями практического применения арифметики тогда были торговля, навигация, строительство. В связи с этим особое значение получили приближённые вычисления иррациональных чисел, необходимые, в первую очередь, для геометрических построений. Особенно бурно арифметика развивалась в Индии и странах ислама, откуда новейшие достижения математической мысли проникли в Западную Европу; Россия знакомилась с математическими знаниями «и от греков, и от латин».

С наступлением Нового времени мореходная астрономия, механика, усложнившиеся коммерческие расчёты выдвинули новые требования к технике вычислений и дали толчок к дальнейшему развитию арифметики. В начале XVII века Непер изобрёл логарифмы, а затем Ферма выделил теорию чисел в самостоятельный раздел арифметики. К концу века сформировалось представление об иррациональном числе как о последовательности рациональных приближений, а в течение следующего столетия благодаря трудам Ламберта, Эйлера, Гаусса арифметика включила в себя операции с комплексными величинами, приобретя современный вид.

Последующая история арифметики ознаменована критическим пересмотром её основ, попытками дедуктивного её обоснования. Теоретические обоснования представления о числе связаны, в первую очередь, со строгим определением натурального числа и аксиомами Пеано, сформулированными в 1889 году. Непротиворечивость формального построения арифметики была показана Генценом в 1936 году.

Основам арифметики издавна и неизменно уделяется большое внимание в начальном школьном образовании.

Смотри полный текст на Wikipedia

Обсуждение темы

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *