Скалярное произведение, длина вектора и координаты вектора в ортонормированном базисе

Скалярное произведение векторов ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ равно произведению ${\displaystyle |\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta )}$

Скаля́рное произведе́ние (иногда называемое внутренним произведением) — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, не зависящее от выбора системы координат.

Обычно для скалярного произведения векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ используется одно из следующих обозначений.

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ,\ {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}$ или просто ${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} }$

${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }$ или ( обозначение Дирака, применяемое в квантовой механике для векторов состояния): ${\displaystyle \langle a|b\rangle }$

В простейшем случае обычного пространства скалярное произведение ненулевых векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ определяется как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta )}$

Равносильное определение: скалярное произведение есть произведение длины проекции первого вектора на второй и длины второго вектора (см. рисунок). Если хотя бы один из векторов нулевой, то произведение считается равным нулю.

У понятия скалярного произведения существует также большое количество обобщений для различных векторных пространств, то есть для множеств векторов с операциями сложения и умножения на скаляры. В частности, скалярное произведение определяется для комплексных векторов, многомерных и бесконечномерных пространств, в тензорной алгебре.

Скалярное произведение и его обобщения играют чрезвычайно большую роль в векторной алгебре, теории многообразий, механике и физике. Например, работа силы при механическом перемещении равна скалярному произведения вектора силы на вектор перемещения.