Скалярное произведение, длина вектора и координаты вектора в ортонормированном базисе

Получим формулу для вычисления скалярного произведения по координатам сомножителей в ортонормированном базисе.
Если векторы в ортонормированном базисе заданы своими координатами , , то скалярное произведение равно:

Длина вектора a ( ) заданного координатами в ортонормированном базисе ,  , вычисляется по формуле


Координаты вектора в ортонормированном базисе:

Любой вектор трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису :
, где – координаты вектора (числа) в данном базисе.
Аналогично плоскому случаю, помимо записи широко используются версии со скобками: либо .
Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры:
вектор (дотошно ) – запишем ;
вектор (дотошно ) – запишем ;
вектор (дотошно ) – запишем .
Базисные векторы записываются следующим образом:





Метод ортогонализации Шмидта
Для справки:
Множество векторов называется ортогональной системой векторов (или системой попарно ортогональных векторов), если любые два ее вектора ортогональны (относительно данного скалярного произведения).

Всякая упорядоченная ортогональная система из n ненулевых векторов n-мерного евклидова векторного пространства образует его базис. Такой базис называется ортогональным.

Базис евклидово векторного пространства < V, g > называется ортонормированным, если все его векторы – попарно ортогональные орты (относительно скалярного произведения g).

Ответ:
– евклидово пространство;
a1…an – произвольный базис.
Положим вектор: ,         ;
,                ;
,               ;

 – ортогональный базис
 – ортонормированный базис
;            ;           ;

Теорема: – евклидово пространство, dim =n  в  существует ортонормированный базис.
Или так
Теорема: В любом ненулевом конечномерном евклидовом векторном пространстве существует ортонормированный базис.

Дополнительная информация из Википедии по теме: Скалярное произведение, длина вектора и координаты вектора в ортонормированном базисе

Скалярное произведение векторов равно произведению

Скаля́рное произведе́ние (иногда называемое внутренним произведением) — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, не зависящее от выбора системы координат.

Обычно для скалярного произведения векторов и используется одно из следующих обозначений.

или просто
или ( обозначение Дирака, применяемое в квантовой механике для векторов состояния):

В простейшем случае обычного пространства скалярное произведение ненулевых векторов и определяется как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними:

Равносильное определение: скалярное произведение есть произведение длины проекции первого вектора на второй и длины второго вектора (см. рисунок). Если хотя бы один из векторов нулевой, то произведение считается равным нулю.

У понятия скалярного произведения существует также большое количество обобщений для различных векторных пространств, то есть для множеств векторов с операциями сложения и умножения на скаляры. В частности, скалярное произведение определяется для комплексных векторов, многомерных и бесконечномерных пространств, в тензорной алгебре.

Скалярное произведение и его обобщения играют чрезвычайно большую роль в векторной алгебре, теории многообразий, механике и физике. Например, работа силы при механическом перемещении равна скалярному произведения вектора силы на вектор перемещения.

Смотри полный текст на Wikipedia

Обсуждение темы

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *