Расчет ферм. Понятие о ферме. Аналитический расчет плоских ферм.

Расчет ферм. Трение скольжения и качения.

Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для изучения динамики движении тел с учетом трения скольжения и трения качения, динамики движения центра масс механической системы, кинетических моментов, для решения задач в дисциплине «Сопротивление материалов».

Расчет ферм. Понятие о ферме. Аналитический расчет плоских ферм.

Фермой называется жесткая конструкция из прямолинейных стержней, соединенных на концах шарнирами. Если все стержни фермы лежат в одной плоскости, ферма называется плоской. Места соединения стержней фермы называют узлами. Все внешние нагрузки к ферме прикладываются только в узлах. При расчете фермы трением в узлах и весом стержней (по сравнению с внешними нагрузками) пренебрегают или распределяют веса стержней по узлам.
Тогда на каждый из стержней фермы будут действовать две силы, приложен­ные к его концам, которые при равновесии могут быть направлены только вдоль стержня. Следовательно, можно считать, что стержни фермы работают только на растяжение или на сжатие. Огра­ничимся рассмотрением жестких плоских ферм, без лишних стержней, образованных из треугольников. В таких фермах число стержней k и число узлов n связаны соотношением
k = 2n – 3
Расчет фермы сводится к определению опорных реакций и уси­лий в ее стержнях.
Опорные реакции можно найти обычными методами статики, рассматривая ферму в целом как твердое тело. Перейдем к определе­нию усилий в стержнях.
Метод вырезания узлов. Этим методом удобно пользоваться, когда надо найти усилия во всех стержнях фермы. Он сводится к по­следовательному рассмотрению условий равновесия сил, сходящихся в каждом из узлов фермы. Ход расчетов поясним на конкретном примере.

Рис.23
Рассмотрим изображенную на рис. 23,а ферму, образованную из одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников; действую­щие на ферму силы парал­лельны оси х и равны: F1 = F2 = F3 = F = 2.
В этой ферме число узлов n = 6, а число стержней k = 9. Следовательно, соот­ношение выполняется и ферма является жесткой, без лишних стержней.
Составляя уравнения рав­новесия для фермы в целом, найдем, что реакции опор направлены, как пока­зано на рисунке, и численно равны;
XA= 3F = 6H
YA= N = 3/2F = 3H
Переходим к определению усилий в стержнях.
Пронумеруем узлы фермы римскими цифрами, а стержни — арабскими. Искомые усилия будем обозначать S1 (в стержне 1), S2 (в стержне 2) и т. д. Отрежем мысленно все узлы вместе со сходящимися в них стержнями от осталь­ной фермы. Действие отброшенных частей стержней заменим силами, которые будут направлены вдоль соответствующих стержней и численно равны искомым усилиям S1, S2.

Изображаем сразу все эти силы на рисунке, направляя их от узлов, т. е. считая, все стержни растя­нутыми (рис. 23, а; изображенную картину надо представлять себе для каждого узла так, как это показано на рис. 23, б для узла III). Если в результате расчета величина усилия в каком-нибудь стержне получится отрицательной, это будет означать, что данный стержень не растянут, а сжат. Буквенных обозначений для сил, действующих вдоль стержней, ни рис. 23 не вводам, поскольку ясно, что силы, действующие вдоль стержня 1, равны численно S1, вдоль стержня 2 — равны S2 и т. д.
Теперь для сил, сходящихся в каждом узле, составляем последо­вательно уравнения равновесия:

Начинаем с узла 1, где сходятся два стержня, так как из двух уравнений равновесия можно определить только два неизвестных усилия.
Составляя уравнения равновесия для узла 1, получим
F1+ S2cos450= 0, N + S1+ S2sin450= 0.
Отсюда находим:


Теперь, зная S1, переходим к узлу II. Для него уравнения равнове­сия дают:
S3+ F2= 0, S4- S1= 0,
откуда
S3= -F = -2H, S4= S1= -1H.
Определив S4, составляем аналогичным путем уравнения равновесия сначала для узла III, а затем для узла IV. Из этих уравнений находим:

Наконец, для вычисления S9 составляем уравнение равновесия сил, сходящихся в узле V, проектируя их на ось By. Получим YA+ S9cos450= 0 откуда
Второе уравнение равновесия для узла V и два уравнения для узла VI можно составить как поверочные. Для нахождения усилий в стержнях эти уравнения не понадобились, так как вместо них были использованы три уравнения равновесия всей фермы в целом при определении N, ХА, и YА.

Окончательные результаты расчета можно свести в таблицу:

№ стержня
Усилие в Н -1 -2,82 -2 -1 +1,41 -3 -3 -4,23

Как показывают знаки усилий, стержень 5 растянут, остальные стер­жни сжаты; стержень 7 не нагружен (нулевой, стержень).
Наличие в ферме нулевых стержней, подобных стержню 7, обна­руживается сразу, так как если в узле, не нагруженном внешними силами, сходятся три стержня, из которых два направлены вдоль одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю. Этот результат получается из уравнения равновесия в проекции на ось, перпендикулярную к упомянутым двум стержням.
Если в ходе расчета встретится узел, для которого число неизве­стных больше двух, то можно воспользоваться методом сечений.
Метод сечений (метод Риттера). Этим методом удобно поль­зоваться для определения усилий в отдельных стержнях фермы, в ча­стности, для проверочных расчетов. Идея метода состоит в том, что ферму разделяют на две части сечением, проходящим через три стержня, в которых (или в одном из которых) требуется определить усилие, и рассматривают равновесие одной из этих частей. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов, т. е. считая стержни рас­тянутыми (как и в методе вырезания узлов). Затем составляют урав­нения равновесия, беря центры моментов (или ось проекций) так, чтобы в каждое уравнение вошло только одно неизвестное усилие.
Графический расчет плоских ферм.
Расчет фермы мето­дом вырезания узлов может производиться графически. Для этого сначала, определяют опорные реакции. Затем, последовательно отсекая от фермы каждый из ее узлов, нахо­дят усилия в стержнях, сходящихся в этих узлах, строя соответствую­щие замкнутые силовые многоугольники. Все построения проводятся в масштабе, который должен быть заранее выбран. Рас­чет начинают с узла, в котором сходятся два стержня (иначе не удастся определить неизвест­ные усилия).

Рис.24
В качестве примера рас­смотрим ферму, изображен­ную на рис. 24, а. В этой ферме число узлов n = 6, а число стержней k = 9. Следовательно, соотношение выполняется и ферма является жесткой, без лиш­них стержней. Опорные реак­ции и для рассматри­ваемой фермы, изображаем на­ряду с силами и , как известные.
Определение усилий в стержнях начинаем с рас­смотрения стержней, сходя­щихся в узле I (узлы нуме­руем римскими цифрами, а стержни – арабскими). Мысленно отрезав от этих стержней остальную часть фермы, отбрасываем ее действие отброшенной части также мысленно заменяем силами и , которые должны быть направлены вдоль стержней 1 и 2. Из сходящихся в узле I сил , и строим замкнутый треугольник (рис. 24, б).
Для этого изображаем сначала в выбранном масштабе известную силу , а затем проводим через ее начало и конец прямые, параллельные стерж­ням 1 и 2. Таким путем будут найдены силы и , действующие на стержни 1 и 2. Затем рассматриваем равновесие стержней, сходящихся в узле II. Действие на эти стержни отброшенной части фермы мысленно заменяем силами , , и , направленными вдоль соответствующих стержней; при этом сила нам известна, так как по равенству дей­ствия и противодействия .
Построив из сил, сходящихся в узле II, замкнутый треугольник (начиная с силы ), найдем вели­чины S3 и S4 (в данном случае S4 = 0). Аналогично находятся усилия в остальных стержнях. Соответствующие силовые многоугольники для всех узлов показаны на рис. 24, б. Последний много­угольник (для узла VI) строится для про­верки, так как все входящие в него силы уже найдены.
Из построенных многоугольников, зная масштаб, находим величины всех усилий. Знак усилия в каждом стержне опреде­ляется следующим образом. Мысленно вы­резав узел по сходящимся в нем стержням (например, узел III), прикладываем к обрезам стержней найденные силы (рис. 25); сила, направленная от узла ( на рис. 25), растягивает стержень, а си­ла, направленная к узлу ( и на рис. 25) сжимает его.

Рис.25
Соглас­но принятому условию растягивающим усилиям приписываем знак «+», а сжимающим – знак «-». В рассмотренном примере (pиc. 25) стержни 1, 2, 3, 6, 7, 9 сжаты, а стержни 5, 8 растянуты.


Обсуждение темы

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *