Понятие определённого интеграла

Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. При этом употребляется запись

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.
Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то, согласно определению,
(38)
При a = b по определению принимается

Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность F(b) – F(a) кратко записывают так:

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:
(39)
Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F(x) и Ф(х) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х) = F(x) + C. Поэтому

Тем самым установлено, что на отрезке [a, b] приращения всех первообразных функции f(x) совпадают.
Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Из всех первообразных для f(x) выбирается обычно та, которая соответствует равной нулю производной постоянной, и к ней применяется формула Ньютона-Лейбница.

Дополнительная информация из Википедии по теме: Понятие определённого интеграла

Интеграл — одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач о нахождении площади под кривой, пройденного пути при неравномерном движении, массы неоднородного тела, и тому подобных, а также в задаче о восстановлении функции по её производной (неопределённый интеграл). Упрощённо интеграл можно представить как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. В зависимости от пространства, на котором задана подынтегральная функция, интеграл может быть — двойной, тройной, криволинейный, поверхностный и так далее; также существуют разные подходы к определению интеграла — различают интегралы Римана, Лебега, Стилтьеса и другие.

Смотри полный текст на Wikipedia

Обсуждение темы

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *