Область существования. Линии и поверхности уровня

Функции нескольких переменных. Основные понятия

Область существования. Линии и поверхности уровня

Чтобы изобразить на плоском рисунке поверхность, заданную функцией двух переменных , используют так называемые линии уровня, которые задаются уравнением где .
Этот способ заключается в следующем: сначала строят сечения поверхности горизонтальными плоскостями , а затем наносят полученные кривые на плоскость . На географических картах таким способом изображают рельеф местности.
Поверхности уровня функции представляют собой геометрическое место точек пространства, в которых данная функция принимает одно и то же значение
.
Определение (Функция многих переменных). Если каждой точке из множества точек -мерного евклидова пространства ставится в соответствие по известному закону некоторое число то говорят, что на множестве задана функция , или .

При этом множество называется областью задания функции
Число соответствующее данной точке из множества , называют частным значением функции в точке .
Совокупность всех частных значений функции называют множеством значений этой функции.
Так как точка определяется своими координатами то для функции переменных используется еще одно обозначение
Пример 1.1. Найти область значений функции
Решение. Областью задания этой функции является круг радиусом 1 с центром в начале координат, а множество значений представляет собой отрезок
Пример 1.2. Найти область определения функции
.
Решение. Эта функция определена для всех троек , удовлетворяющих одновременно условиям
Пример 1.3. Найти линии уровня функции .
Решение. На основе определения линий уровня запишем
, или .
Преобразуем это выражение:
.
Таким образом, линии уровня заданной функции являются эллипсами.
Пример 1.4. Найти поверхности уровня функции .
Решение. Запишем уравнение поверхности уровня
.
Преобразуем это уравнение:
.
Тогда поверхностями уровня будет семейство конусов
.
Сделав замену , получим
,
где .
Определить и изобразить области существования следующих функций:

1.1. . 1.2. .
1.3. .1.3. . 1.4. .
1.5. . 1.6. .

Построить линии уровня следующих функций:

1.7. .
1.8. а) ; б) ;
в) ; г) .
1.9. . 1.10. .

Построить поверхности уровня следующих функций:

1.11. . 1.12. .

Ответы: 1.1. Все точки плоскости вне круга .
1.2. Кольцо
1.3. Пара вертикальных углов .
1.4. Совокупность четырех октантов пространства.
1.5. Открытая пирамида с вершинами в точках .
1.6. Внутренность двуполостного гиперболоида .
1.7. Семейство подобных эллипсов.
1.8. а) I и III квадранты при , семейство двухзвенных ломаных линий, звенья которых параллельны осям координат, а вершины расположены на прямой при ;

б) линии уровня – стороны углов, параллельные положительным направлениям координатных осей и , с вершинами на прямой ;
в) семейство контуров квадратов с общим центром , стороны которых параллельны осям координат и при , точка при ; г) прямые, параллельные оси , если , стороны углов, параллельные координатной оси и положительной полуоси , с вершинами на параболе , если , положительная полуось , если .

1.9. Пучок окружностей, проходящих через начало координат (не включая этого начала) и ортогональных к оси .
1.10. Семейство окружностей, ортогональных к оси и проходящих через точки , за вычетом последних.
1.11. Семейство двуполостных гиперболоидов при , семейство однополостных гиперболоидов при , конус при .
1.12. Семейство концентрических сфер при , семейство сферических слоев , где , при или .
12345678910Следующая ⇒

Дополнительная информация из Википедии по теме: Область существования. Линии и поверхности уровня

Вене́ра — вторая по удалённости от Солнца планета Солнечной системы, наряду с Меркурием, Землёй и Марсом принадлежащая к семейству планет земной группы. Названа в честь древнеримской богини любви Венеры. По ряду характеристик — например, по массе и размерам — Венера считается «сестрой» Земли. Венерианский год составляет 224,7 земных суток. Она имеет самый длинный период вращения вокруг своей оси (около 243 земных суток, в среднем 243,0212 ± 0,00006 сут) среди всех планет Солнечной системы и вращается в направлении, противоположном направлению вращения большинства планет.

Венера не имеет естественных спутников. Это третий по яркости объект на небе Земли, после Солнца и Луны. Планета достигает видимой звёздной величины −4,6m, так что её яркости достаточно, чтобы отбрасывать тени ночью. Изредка Венера видна невооружённым глазом и в светлое время суток.

Венера имеет плотную атмосферу, состоящую более чем на 96 % из углекислого газа. Атмосферное давление на поверхности планеты в 92 раза больше, чем на поверхности Земли, и примерно равно давлению воды на глубине 900 метров. Венера — самая горячая планета в Солнечной системе: средняя температура её поверхности — 735 К (462 °С), даже несмотря на то, что Меркурий находится ближе к Солнцу. Венера покрыта непрозрачным слоем облаков из серной кислоты с высокой отражающей способностью, что, помимо всего прочего, закрывает поверхность планеты от прямой видимости. Высокая температура поверхности обусловлена действием парникового эффекта.

В качестве одного из наиболее ярких объектов в небе, Венера была важным элементом в человеческой культуре. Она была первой планетой, для которой в начале второго тысячелетия до нашей эры было зафиксировано движение по небу. Как ближайшая к Земле планета, Венера была главной целью для ранних межпланетных исследований. Это была первая планета, которую посещали космические аппараты (« Маринер-2» в 1962 году), и на поверхность которой была совершена посадка (« Венера-7» в 1970 году). Плотные облака Венеры делают наблюдение её поверхности невозможным в видимом свете, и первые подробные карты поверхности появились только после прибытия космического аппарата «Магеллан» в 1991 году. Были предложены планы по использованию вездеходов, а также реализации более сложных задач, но им мешают тяжёлые условия на поверхности Венеры.

Смотри полный текст на Wikipedia

Обсуждение темы

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *