Комплексный двухкартинный чертеж точки.

Плоскости П1 и П2 принято называть горизонтальной и фронтальной плоскостями проекций, а проекции точек и других геометрических фигур на эти плоскости – соответственно горизонтальными и фронтальными проекциями.
Пространственная модель плоскостей проекций с заданными на них горизонтальной и фронтальной проекциями А1 и А2 точки А (рис. 2.2) хотя и определяет положение точки А в пространстве, но неудобна в использовании. Для того, чтобы превратить пространственную систему плоскостей проекций в плоскую фигуру, совмещаем плоскости проекций. При этом плоскость П1, вращаясь вокруг оси x, опускается вниз до совмещения с плоскостью П2. На рис. 2.3 изображены совмещенные плоскости проекций
и проекции точек на них.
Совмещенные плоскости проекций изображаются с помощью проекций осей координат – оси x12, представляющей собой слившиеся горизонтальную и фронтальную проекции оси x, оси z2 – фронтальной проекции оси z , и оси y1 – горизонтальной проекции оси y. Оси z2 и y1 расположены вертикально по одной прямой и по разные стороны от точки О. В ряде случаев оси z2 и y1 не обозначают (рис. 2.4).
Поле чертежа представляет собой проекции совмещенных плоскостей проекций, а весь чертеж является моделью трехмерного пространства.
Вместе с проекциями А1, А2 точки А и прямой, связывающей эти проекции, рис. 2.3 и рис. 2.4 каждый представляют собой двухкартинный комплексный чертеж точки (эпюр точки).
Впервые описал и обосновал комплексный чертеж точки, применяя совмещение плоскостей проекций, известный французский ученый Гаспар Монж, который жил и творил во времена Великой Французской революции.
Труд «Начертательная геометрия» был написан Монжем в 1775 году. В те времена метод Монжа было военной тайной, так как этот метод давал большие преимущества французской промышленности. Монжу разрешили опубликовать свой труд только в 1795 году, через 20 лет.
Метод изображения с помощью совмещения плоскостей проекций вошел в историю техники как метод Монжа.
Отличительной особенностью комплексного чертежа точки является то, что горизонтальная и фронтальная проекции точки А всегда лежат на одном перпендикуляре к горизонтальной оси x12эпюра. Действительно, порознь имеет место А1Аx1 x1 и А2Аx2 x2, но так как горизонтальная и фронтальная проекции оси x1 и x2 совпадают, образуя x12, и проекции точки Аx1 и Аx2 совпадают, образуя А12, а при вращении П1 вокруг оси x отрезки А1Аx1 и А2Аx2 не меняют своего положения по отношению к одноименным проекциям оси x, то после совмещения получается, что из одной точки А12 слившихся проекций оси x12 выходят два отрезка А12А2 и А12А1 , порознь перпендикулярные к этой оси. Следовательно, эти отрезки лежат на одной прямой.

Перпендикуляр к оси эпюра, связывающий проекции А1 и А2, называется линией проекционной связи.
Комплексный чертеж точки вполне определяет ее положение в пространстве.
2.1.2. Замена плоскостей проекций.Плоскостей, перпендикулярных к плоскости П1, кроме плоскости П2, можно провести множество, и точно также к плоскости П2 можно провести множество перпендикулярных плоскостей.
Рассмотрим, каким образом необходимо преобразовать чертеж, чтобы заменить плоскость П2 на П4 , причем П4 П1. На рис. 2.5 изображена система плоскостей проекций П1П2 с осью x12. Назовем ее старой системой. Введем плоскость П4 , перпендикулярную П1. Новая система плоскостей проекций П1П4 имеет ось проекций x14. Проекциями точки А в старой системе были А1 и А2, а в новой системе стали А1 и А4. Точка А4 получена ортогональным проецированием точки А на плоскость П4. На осях проекций x12 и x14 не отмечено начало координат, потому что координата x в данном преобразовании не нужна.
При замене одной из плоскостей проекций, как видно из рис. 2.5, имеется два инварианта (величины, остающиеся постоянными при преобразованиях):
1) проекция точки на незаменённую плоскость проекций. В данном случае это точка А1;
2) расстояние точки до незаменённой плоскости проекций. В данном случае это .
На рис. 2.6 показано построение проекции точки А4 по данным А1 и А2 и имеющемуся направлению новой оси проекции x14 при замене П2 на П4. На этом рисунке даны старая и новая оси проекций. Около каждой оси отмечены плоскости проекций, пересечением которых они являются.

Из точки А1, которая является инвариантом при данном преобразовании, проводим линию связи перпендикулярно к оси x14. От точки пересечения линии связи А14 с осью x14 откладываем второй инвариант – расстояние точки А до плоскости П1. Тогда А14А4==А12А2.
На рис. 2.7 показано преобразование чертежа, при котором заменена плоскость П1 на П5. Здесь инвариантами являются проекция А2 и расстояние до незамененной плоскости П2. Построения понятны из чертежа. Очевидно, что А25А5==А1А12.

Если необходимо заменить обе плоскости проекций, то преобразование нужно выполнять последовательно: сначала заменить одну плоскость проекций, а потом вторую.
На рис. 2.8 показано преобразование, в котором система П1П2 заменена на систему П5П6. Сначала заменена плоскость П1 на П5, а после этого П2 на П6.

2.1.3. Комплексный трехкартинный чертеж точки. Оси проекций z и y (рис. 2.1) образуют плоскость, перпендикулярную к оси x и к плоскостям П1 и П2. Обозначим эту плоскость П3 и назовем ее профильной плоскостью проекций.
Построение профильной проекции точки. Профильную проекцию А3 точки А на плоскость П3 найдем, заменив П1 на П3 (рис. 2.9).
В данном преобразовании старая система плоскостей проекций П1П2 заменяется на новую П2П3. Проекция А2 остается неизменной. Из точки А2 проводим линию связи, перпендикулярную новой оси проекций, и вдоль нее от новой оси откладываем второй инвариант – расстояние точки А до плоскости П2, равное = А1А12.
Новая ось проекций должна быть названа x23, но, учитывая традиции в изучении начертательной геометрии и то, что новая ось совпадает с осью z, мы вместо x23 напишем z23.
На рис. 2.10 и рис. 2.11 показаны практические приемы построения профильной проекции точки. Из точки А2 в обоих случаях проводится линия связи, параллельная горизонтальной оси эпюра. Вдоль этой линии от точки А23 откладывается отрезок, равный =А1А12. На рис. 2.10 эта операция производится с помощью дуги окружности, на рис. 2.11 с помощью отражения от прямой, проведенной под углом 450 к горизонтальной оси чертежа. Порядок построения показан стрелками.

Параллелепипед координат.
На рис. 2.12 показана пространственная модель плоскостей проекций и построены проекции точки А на горизонтальную – А1, фронтальную – А2 и профильную – А3 плоскости проекций. Если плоскости проекций продолжить во все стороны, то они разобьют пространство на 8 частей, называемых октантами. Ограничимся рассмотрением проекций фигур, находящихся в первом октанте, которому соответствуют положительные направления осей.
При проецировании точки на плоскости проекций образуется параллелепипед, у которого три пространственных ребра АА1, АА2 и АА3 совпадают с проецирующими лучами. Шесть ребер параллелепипеда лежат на плоскостях проекций – по два ребра на каждой: А1А12 и А1А13 на П1; А2А12 и А2А23 на П2; А3А13 и А3А23 на П3. Эти ребра образуются пересечением плоскостей, заданных парами пересекающихся проецирующих лучей, с плоскостями проекций.
Последние три ребра совпадают с осями проекций: А12О – с осью x12, А13О – с осью y13 и А23О – с осью z23.
Так как данная система плоскостей проекций совпадает с прямоугольной системой координат, то полученный параллелепипед можно назвать параллелепипедом координат.

Совмещение плоскостей проекций осуществляем как и для случая построения комплексного двухкартинного чертежа точки. Плоскость П1 при этом вращается вокруг оси x12 до совмещения с плоскостью П2, и горизонтальная проекция оси у1 опускается вниз (рис. 2.13). Плоскость П3 вращается вокруг оси z23 вправо до совмещения с плоскостью П2. При этом оси х12 и z23 остаются на месте. Профильная проекция оси у3 поворачивается вместе с плоскостью П3 вправо и встает на одну линию с осью х12.
На рис. 2.14 показан комплексный трехкартинный чертеж (эпюр) точки А. Также как и для комплексного двухкартинного чертежа точки в данном случае имеем:

1) горизонтальная и фронтальная проекции точки Алежат на одной прямой, перпендикулярной к осих12, т.е. А1А2 х12;
2) фронтальная и профильная проекции точки Алежат на одной прямой, перпендикулярной к осиz23, т.е. А2А3 z23. Доказательство этого положения аналогично приведенному ранее для комплексного двухкартинного чертежа точки, но только по отношению к оси z23.
Проекции точек, лежащих на плоскостях проекций.
Проекции точки, лежащей на плоскости, можно получить, приравнивая нулю соответствующую координату, так как координата – отрезок, выражающий расстояние от точки до плоскости проекции (рис.2.15).

Рис. 2.15

Поэтому, если =0, то А П1 (рис. 2.15, а). При уА=0 А П2 (рис. 2.15, б) и, когда хА=0, А П3 (рис. 2.15, в).
Проекции точек, лежащих на осях проекций.
На рис. 2.16 рассмотрены случаи, когда точка А лежит на осях проекций: А x (рис. 2.16, а); А y (рис. 2.16, б); А z(рис. 2.16, в).

Построение проекций точек по координатам. Последовательность построения проекций точки А (xA, yA, zA) следующая (рис. 2.17):
1) От точки О вдоль оси х12 откладываем отрезок длиной xA и отмечаем точку А12.
2) Через точку А12 проводим линию проекционной связи перпендикулярно оси х12.
3) Вниз на линии проекционной связи от точки А12 откладываем отрезок длиной yA и получаем горизонтальную проекцию А1.
4) Вверх на линии проекционной связи от точки А12 откладываем отрезок длиной zA и получаем фронтальную проекцию А2.
5) Строим профильную проекцию А3, для чего из точки А2 проводим линию проек-ионной связи перпендикулярно оси z23 и от полученной точки А23 откладываем отрезок длиной yA.

12345Следующая ⇒


Обсуждение темы

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *